アブストラクト

十分小さい結晶の平衡形は，その結晶の体積を一定にしたままでその非等方的表面エネルギーを最小にする形になる事が知られており，Wulff shapeと呼ばれる凸体と一致する． 例えばシャボン玉，塩の結晶の平衡形はそれぞれ，球面，立方体である． 塩の結晶のようにWulff shapeは常に滑らかとは限らず，角や真っ直ぐな線分，平らな面を持つ場合もある． そこで，「どのような場合に Wulff shape は 線分や面を持つのであろうか?」という自然な問題に対して， 私は2017年の Han-Nishimura による， Wulff shape の狭義凸性とその convex integrand(結晶のエネルギー密度)の C^1 級性の同値性の結果を参考にして， その両者の関係を局所的な視点から考察し， Wulff shape の 1 つの方向における ” face set ”とその convex integrand の 1 点での ” derivative direction ”を導入し， それらの関係を各点で考えることで，Wulff shapeの凸性とそのconvex integrandの可微分性の局所的でより詳細な関係性を明らかにした． さらに私の定理の系として，彼らの結果を導くことにも成功した． 本発表ではこれらの詳細について述べる．